黒い砂漠では、アイテムドロップや装備強化、馬の覚醒など様々な場面で確率が関わってきます。特に装備強化は何をするにも必要なため、多くの人が成否に一喜一憂しているのではないでしょうか。確率は収束するとはよく言いますが、あまりに悪い結果が続くとどうしても納得ができない(したくない)ことはあると思います。そこで、この記事では自分がどのくらい不幸であったのかを計算する方法を紹介します。

[条件設定]

タイトルにある真III→真IV等級アクセサリーへの強化について考えます。ただし、細かな条件は以下のとおりです。

・黄色等級のアクセサリーを真III→真IV等級にクロン石を使用して強化する

・強化成功確率は30%で固定とし、強化失敗時の確率上昇は考えない

・失敗時は60%の確率で強化段階を維持、40%の確率で強化段階が下落

・試行回数は4回とし、そのすべてで失敗(強化段階維持、強化段階下落の両方を含む)となる確率を求める

必要に応じて以下の変数を使用します。

p: 成功確率

n: 試行回数

k: 成功回数

[計算]

<起こりうる組み合わせ>

まずは、4回試行した場合に起こりうるすべての成功・失敗の組み合わせを考えます。成功回数k、失敗回数n-kはどちらも0から4の自然数回発生します。どちらかが負の値になったり、少数部分を持ったりすることはありません。これを整理したものが表1です。この表の中で、Xは起こりえない組み合わせを表しており、今後これらの組み合わせについては考慮しません。

<各組み合わせの確率>

次に、各組み合わせが発生する確率を考えます。4回試行し、4回とも成功する確率は

p^k = 0.3^4 = 0.8%                                                                                (式1)

となり0.8%です(式1)。4回試行し、その内3回が成功し、1回失敗する確率は

p^k * (1-p)^(n-k) = 0.3^3 * (1-0.3)^(4-3) = 1.9%                               (式2)

となり1.9%です(式2)。同様にして2回、1回、0回成功する確率をまとめたものが表2になります。

ところで、成功回数3回となるのは(1,2,3)、(1,2,4)、(1,3,4)、(2,3,4)回目で成功する4通りが存在し、今回求めたいものはこれらの順番を区別しません。これは4つの中から3つを選ぶ組み合わせであり、4回の試行で3回成功する確率は以下の式3で与えられることが分かります。

nCk * p^k* (1-p)^(n-k) = 4 * 0.3^3 * (1-0.3)^(4-3) = 7.6%                (式3)

以上をまとめ、各成功回数の確率を表したものが表3です。初期条件である4回の試行すべてで失敗する確率は24.0%と求められます。直感的には運が悪いと感じる事象であっても、1/4くらいの確率で起こりうる事象であると分かります。

<応用例1: 4回の試行すべてで強化段階が下落する確率>

クロン石を使用したアクセサリー強化では、失敗時に40%の確率で強化段階が下落します。応用編として、4回の試行すべてで強化に失敗し、かつそのすべてで強化段階が下落する確率を考えます。試行回数n回、強化段階下落回数d回とします。。強化に失敗する確率は1-pなので強化段階が下落する確率は(1-p)*0.4となります。したがってn回の試行でd回強化段階下落する確率は式4から0.4%であることが分かります。

nCd * ((1-p)*0.4)^d * (1-((1-(1-p)*0.4))^(n-d) = 0.6%                      (式4)

<応用例2: 4回の試行で2回以上成功する確率>

2回以上成功する確率は2回、3回、4回成功する確率を足し合わせることで求められます。すなわち式5から34.8%と求められます。

(1 - Σ[k = 0 → n-1] nCk * p^k * (1-p)^(n-k)) = 34.8%                    (式5)

[最後に]

確率には上振れ、下振れがつきものです。試行回数を増やしづらいものであればなおさら表記確率通りの結果にならないことも多いでしょう。思い通りの結果にならなかったとき、一度自分がどのくらい不幸だったのかを計算してみることで間を置くのはどうでしょうか。

[補足]

確率密度関数をExcel等でプロットすると視覚的に各々の確率を捉えることができ、より直感的に理解することが出来ます。一例として以下の図1及び図2は試行回数を4回、100回としたときに成功確率30%の強化実施時に各強化結果が得られる確率密度分布を表しています。